Введение 2
1. Определение и примеры групп 4
2. Подгруппы 8
3. Циклические группы. 13
4. Нормальные делители, фактор-группы 17
5. Идеал подгруппы в группе. Теорема Лагранжа и следствия из неё. 22
6. Использование нормальных делителей групп при решении задач 26
Заключение 29
Список литературы 30
Введение
Высшая алгебра представляет собой далеко идущее, но вполне естественное обобщение основного содержания школьного курса элементарной алгебры. Линейная алгебра, являющаяся большой наукой, посвященной в основном теории матриц и связанной с нею теории линейных преобразований векторных пространств, включает в себя также теорию форм, теорию инвариантов и тензорную алгебру, играющую важную роль в дифференциальной геометрии. Теория векторных пространств получает дальнейшее развитие вне алгебры, в функциональном анализе (бесконечномерные пространства). По разнообразию и значительности приложений как в математике, так и в механике, физике и технических науках линейная алгебра остается пока первой среди многочисленных ветвей алгебры.
Теория полей оказалась естественной областью для дальнейшего развития теории уравнений, а ее основные ветви - теория полей алгебраических чисел и теория полей алгебраических функций - связали ее, соответственно, с теорией чисел и теорией функций комплексного переменного. Курс высшей алгебры включает в себя элементарное введение в теорию полей, а некоторые разделы курса - многочлены от нескольких неизвестных, нормальная форма матрицы - излагаются сразу для случая произвольного основного поля.
Более широким, чем понятие поля, является понятие кольца. В отличие от случая поля, здесь уже не требуется выполнимости деления и, кроме того, умножение может быть некоммутативным и даже неассоциативным. Простейшими примерами колец служат совокупность всех целых чисел (включая и отрицательные), система многочленов от одного неизвестного и система действительных функций действительного переменного. Теория колец включает в себя такие старые ветви алгебры, как теория гиперкомплексных систем и теория идеалов, она связана с рядом математических наук/в частности с функциональным анализом, и уже нашла некоторые выходы в физику. Курс высшей алгебры, по существу, содержит лишь определение понятия кольца.
Еще большую область применений имеет теория групп. Группой называется алгебраическая система с одной основной операцией, причем эта операция должна быть ассоциативной, хотя необязательно коммутативной, и должна обладать обратной операцией - делением, если основная операция названа умножением. Такова, например, совокупность целых чисел, рассматриваемая относительно операции сложения, а также совокупность положительных действительных чисел, рассматриваемая с операцией умножения. Группы играли большую роль уже в теории Галуа, в вопросе о разрешимости уравнений в радикалах, сейчас же они являются важным орудием в теории полей, во многих разделах геометрии, в топологии, а также и вне математики - в кристаллографии, в теоретической физике. Вообще, по широте области приложений теория групп занимает среди всех ветвей алгебры следующее после линейной алгебры место.
Предметом данной работы являются нормальные делители групп.
Задачи:
1. Дать определение группе и подгруппе, рассмотреть примеры групп.
2. Рассмотреть циклические группы.
3. Рассмотреть понятие нормальных делителей
4. Привести теорему Лагранжа и следствия из неё.
5. Рассмотреть использование нормальных делителей групп при решении задач.
Список использованных источников
1. Куликов Л.Я. и теория чисел: Учеб. пособие для педагогических институтов. – : Высш. школа, 1979. – 559 с., ил.
2. Кострикин А.И. Введение в алгебру: Учебник для вузов. – М.: Физматлит, 2004. – 272 с.
3. Фаддеев Д.К. Сборник задач по высшей алгебре. – М.: Наука, 1977. – 288 с.
4. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. – М.: Наука, 1968.
5. Окунев Л.Я. Сборник задач по высшей алгебре – М.: Просвещение, 1964.
Общий объем: 30 стр.
Год: 2013
Задача 1. Проверить выполнение аксиом группы для а) множества целых чисел; б) множества четных целых чисел; в) множества нечетных целых чисел относительно операции сложения.
Решение. Обозначим черезZ 2 n – множество четных целых чисел, а черезZ 2 n -1 – множество нечетных целых чисел. Замкнутыми относительно сложения являются множествоZи множествоZ 2 n . В самом деле, складывая два целых числа, получаем целое число; складывая два четных целых числа, получаем также четное целое число. Напротив, при сложении двух нечетных чисел не получается нечетное число, что указывает на то, что множествоZ 2 n -1 незамкнуто относительно операции сложения.
Проверим выполнение других аксиом группы. Сложение является ассоциативной операцией. Нейтральным элементом на множествах ZиZ 2 n относительно сложения является 0. Далее, для любого целого числа (четного целого числа) противоположное ему число также является целым (четным целым).
Таким образом, можно сделать вывод, что
и
–
группы, а
не удовлетворяет определению группы,
равно как и определениям моноида и
полугруппы.
При этом обе группы
и
являются коммутативными (абелевыми), в
силу коммутативности сложения.
Задача 2. Доказать, что множество четных целых чисел образует подгруппу аддитивной группы целых чисел.
Решение.
Ранее доказано, что
–
группа. При этом
.
Тем самым, доказано, что
–
подгруппа группы
.
Задача 3.
Найти смежные классы группы
по подгруппе
.
Решение
. Для удобства записи
обозначим
.
Левые смежные классы группы
по подгруппе
представлены ниже:
Очевидно, что левые смежные классы совпадают с соответствующими правыми классами. Это является следствием коммутативности сложения. Следовательно, группа четных целых чисел является нормальным делителем аддитивной группы целых чисел.
Рассмотренный пример, кроме прочего, иллюстрирует ряд основных фактов, касающихся смежных классов:
а) одним из смежных классов является сама подгруппа Н (в данном случае это смежный класс Н + 0);
б) любые два смежных класса либо совпадают (например, Н + 0 и Н + 2), либо вовсе не пересекаются (например, Н + 0 и Н + 1);
в) множество смежных классов (например,
левых) образует разбиение носителя
группы; в данном случае
.
Задачи для самостоятельного решения
Пусть заданы группы g 1 = (G 1 , ⋅, 1) и g 2 = (G 2 , ⋅, 1) Отображение f: G 1 → G 2 называют гомоморфизмом группы g 1 в группу g 2 (гомоморфизмом групп), если для любых x, у ∈ G 1 выполняется равенство f(x ⋅ у) = f(x) ⋅ f(у), т.е. образ произведения любых двух элементов группы g 1 при отображении f равен произведению их образов в группе g 2 .
Если отображение f сюръективно (биективно), то его называют эпиморфизмом (изоморфизмом) групп. В этом случае говорят также об эпиморфизме (изоморфизме) группы g 1 на группу g 2 .
Замечание 2.5. Мы обозначили операции групп g 1 и g 2 одинаково, как это обычно и делается для однотипных алгебр, хотя, конечно, это разные операции разных групп.
Пример 2.21. Пусть g 1 = (ℤ, +, 0) - аддитивная группа целых чисел, а g 2 = ℤ +k - аддитивная группа вычетов по модулю k.
Зададим отображение f так: для всякого целого m образ f(m) равен остатку от деления m на k. Можно проверить, что для любых целых тип имеет место равенство f(m + n) = = f(m ⊕ k f(n), т.е. для целых чисел остаток от деления суммы на к равен сумме по модулю к остатков от деления на к каждого слагаемого.
Следовательно, данное отображение есть гомоморфизм группы g 1 в группу g 2 . Далее, поскольку любое целое число от 0 до k - 1 есть остаток от деления на k какого-то числа, то отображение f является и эпиморфизмом группы g 1 на группу g 1 .
Теорема 2.14. Пусть g 1 , g 2 - произвольные группы. Если f: g 1 → g 1 - гомоморфизм, то:
- образом единицы (нейтрального элемента) группы g 1 при отображении f является единица группы g 2 , т.е. f(1) = 1;
- для всякого элемента х группы g 1 образом элемента x -1 является элемент -1 , обратный элементу f(x), т.е. f(x -1) = -1 .
◀ Согласно определению гомоморфизма, для произвольного x ∈ g 1 имеем f(х) ⋅ f(1) = f(х ⋅ 1). Далее, f(х ⋅ 1) = f(х), т.е. f(x) ⋅ f(1) = f(x). Следовательно, f(1) = (f(х)) -1 ⋅ f(х) = 1, т.е. f(1) = 1
Докажем второе утверждение теоремы. Используя определение гомоморфизма и уже доказанное первое утверждение теоремы, получаем
f(x -1) ⋅ f(x) = f(x -1 ⋅x) = f(1) = 1, т.е. f(x -1) = -1
Множество f(G 1) - образ носителя группы g 1 при гомоморфизме f - замкнуто относительно умножения группы g 2 . Действительно, если g 2 , g 2 " ∈ f(g 1), то существуют такие g 1 , g 1 " ∈ g 1 что f (g 1) = g 2 и f (g 1 ") = g 2 ". Тогда
g 2 g 2 " = f(g 1)f(g 1 ") = f(g 1 g 1 ") ∈ f(g 1).
Из теоремы 2.14 следует, что f(g 1) содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом обратный к нему элемент. Это значит, что можно определить подгруппу группы g 2 носителем которой будет множество f(g 1). Эту группу называют гомоморфным образом группы g 1 при гомоморфизме f.
Группу K называют просто гомоморфным образом группы g , если существует гомоморфизм группы g на группу K . Так, группа ℤ *k при любом k > 1 является гомоморфным образом аддитивной группы целых чисел (см. пример 2.21).
Обратимся к следующему примеру.
Пример 2.22. Рассмотрим мультипликативную группу (С\ {0}, ⋅, 1) комплексных чисел с обычной операцией умноже- умножения комплексных чисел. Легко понять, что эта группа не что иное, как мультипликативная группа поля комплексных чисел.
Рассмотрим также группу М 2 невырожденных квадратных матриц второго порядка с операцией умножения матриц (см. пример 2.9.е).
Определим отображение f множества ℂ комплексных чисел в множество квадратных матриц второго порядка, положив для произвольного ненулевого комплексного числа а + bi, что
Покажем, что f - гомоморфизм групп. С одной стороны,
f[(a + bi)(с + di)] = f[(ac - bd) + i(ad + bc)] =
С другой стороны,
Следовательно,
f[(a + bi)(с + di)] = f(a + bi) f(с + di).
Таким образом, отображение f - гомоморфизм групп, а гомоморфный образ мультипликативной группы комплексных чисел при f - это подгруппа K группы матриц M 2 , состоящая из матриц вида Здесь мы учли, что любая матри ца вида является образом некоторого комплексного числа (а именно а + bi) при отображении f. Группа K - собственная подгруппа группы M 2 . #
Сформулируем без доказательства одно важное свойство гомоморфизмов групп.
Теорема 2.15. Если f - гомоморфизм группы g в группу K, a g - гомоморфизм группы K в группу L, то композиция отображений f॰g есть гомоморфизм группы g в группу L. #
Рассмотрим некоторые свойства изоморфизмов групп.
Теорема 2.16. Если f: g 1 → g 2 - изоморфизм группы g 1 на группу g 2 то отображение f -1 , обратное к отображению f, есть изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .
◀Пусть х и у - произвольные элементы группы g 2 , пусть также х = f(u), а у = f(v), где u и v - элементы группы g 1 .
f -1 (xy) = f -1 (f(u)f(v)) = uv = f -1 (x) f -1 (y),
т.е. отображение f -1 - гомоморфизм второй группы в первую. Но так как отображение, обратное к биекции, есть биекция, то f -1 - изоморфизм группы g 2 на группу g 1 .
Группы g и K называют изоморфными , если существует изоморфизм одной из них на другую. При этом используют обозначение g ≅ K.
Изоморфные группы с точки зрения их алгебраических свойств совершенно одинаковы, хотя их элементы могут иметь различную природу. Вернемся в этой связи к примеру 2.22. Легко убедиться в том, что определенное там отображение а множества комплексных чисел на множество квадратных матриц специального вида является биекцией. Следователь- Следовательно, мультипликативная группа комплексных чисел и группа матриц указанного вида с операцией умножения матриц изо- изоморфны, хотя элементы этих групп на первый взгляд не имеют между собой ничего общего.
Определение 2.8. Ядром гомоморфизма f группы g в группу К называют прообраз Кег f единицы группы g при гомоморфизме f: Кегf = f -1 (1)⊆ G.
Пример 2.23 . Ядром гомоморфизма, рассмотренного в примере 2.21, служит множество всех целых чисел, делящихся на k.
Теорема 2.17 . Ядро Кегf гомоморфизма f: g → K есть подгруппа группы g .
◀Нужно убедиться в том, что множество Кег f замкнуто относительно умножения группы Q, содержит единицу этой группы и вместе с каждым элементом содержит обратный к нему элемент.
Если a, b ∈ Ker f, т.е. f(a) = f(b) = 1, то f(ab) = f(a)f(b) = = 1 и аb ∈ Кегf. Ясно, что 1 ∈ Kerf, так как f(1) = 1 (см. теорему 2.14). Если а ∈ Кегf, то f(а -1) = -1 = 1 -1 = 1, т.е. и a -1 ∈ Кегf.
Ядро гомоморфизма, приведенного в примере 2.21, представляет собой подгруппу аддитивной группы целых чисел, состоящую из всех чисел, кратных k.
Подгруппа Н группы g называется нормальной подгруппой (нормальным делителем) группы g , если аН = На для любого a ∈ G.
В коммутативной группе, как было отмечено выше, аН = = На. Следовательно, в этом случае любая подгруппа является нормальным делителем.
Пусть H = (H, ⋅, 1) - подгруппа группы g = (G, ⋅, 1). Для фиксированных элементов a, b ∈ G через аНb обозначим множество всех произведений вида ahb, где h ∈ Н. В силу ассоциативности групповой операции это обозначение корректно.
Теорема 2.18. Подгруппа H = (H, ⋅, 1) является нормальным делителем группы g = (G, ⋅, 1) тогда и только тогда, когда аНа -1 ⊆ Н для любого а ∈ G.
◀Если Н - нормальный делитель, то для любого а ∈ G аН = = На, т.е. для любого h ∈ H найдется такое h 1 ∈ H, что аh = = h 1 a. Пусть элемент х ∈ аНа -1 , т.е. x = aha -1 для некоторого h ∈ Н. Так как ah = h 1 а, то х = h 1 аa -1 = h 1 ∈ H и поэтому аHа -1 ⊆ H.
Обратно, если аНа -1 ⊆ H, то любой элемент х = aha -1 , где h ∈ Н, принадлежит и множеству H, т.е. aha -1 = h 1 для некоторого h 1 ∈ H. Отсюда, умножая последнее равенство на a справа, получим ah = h 1 a, т.е. элемент ah из левого смежного класса аН принадлежит и правому смежному классу На. Итак, аН ⊆ На.
Теперь возьмем для произвольного a ⊆ G обратный к а элемент а -1 и для него запишем включение а -1 На ⊆ H (напомним, что (а -1) -1 = а). Рассуждая как и выше, получим, что для некоторых h, h 1 ∈ H имеет место равенство a -1 h = h 1 a -1 , т.е. ha = ah 1 и На ⊆ аH. Итак, аН = Hа и H - нормальный делитель.
Оказывается, существует связь между понятием нормального делителя и понятием гомоморфизма, которая продолжает и углубляет на новом уровне уже известную нам из главы 1 связь между понятиями отображения и класса эквивалентности.
Теорема 2.19. Ядро гомоморфизма f группы g в группу K является нормальным делителем группы g .
Для любого у ∈ Кег f и любого a ∈ G имеем
f(aya -1) = f(a)f(y)f(a -1) = f(a)⋅0⋅f(a -1) = f(a)f(a -1) = 1
Это значит, что для любого а ∈ G выполняется соотношение а(Кег f)а -1 ⊆ Кег f, а, согласно теореме 2.18, Кегf - нормальный делитель.
Пусть H = (H, ⋅, 1) - нормальный делитель группы g = = (G, ⋅, 1). Рассмотрим множество всех левых смежных классов {аН: a ∈ G}. Это будет не что иное, как фактор-множество множества G по определенному выше (см. теорему 2.11) отношению эквивалентности ~ H .
Введем операцию умножения на множестве всех левых смежных классов следующим образом: произведением аН ⋅ bН классов аН и bН назовем класс аbН.
Это определение корректно, так как множество аН ⋅ bН, т.е. множество всех произведений вида ahbh 1 для различных h, h 1 ∈ H, в силу того что Hb = bH для всякого b ∈ G, совпадает с левым смежным классом аbH. Действительно, поскольку hb = = bH" для некоторого h" ∈ H, то ahbh 1 = abh"h 1 ∈ аbH.
Теперь рассмотрим некоторый х ∈ аbH, т.е. x = abh для некоторого x ∈ Н 1 . Поскольку bh = h"b для некоторого h" ∈ Н, то х = аx"b = ah"b1 ∈ aHbH. Следовательно, аH ⋅ bН = abH.
Можно далее легко показать, что для каждого a ∈ G имеют место аН ⋅ Н = Н ⋅ аН = аН и аН а -1 Н = а 1 Н ⋅ аН = Н. Тем самым определена группа, носителем которой является фактормножество G/~ H множества G по отношению эквивалентности ~ H с операцией умножения левых смежных классов, причем нейтральным элементом относительно этой операции служит носитель подгруппы H, а обратным к левому смежному классу аН будет левый смежный класс а -1 Н. Эту группу называют фактор-группой группы g по нормальному делителю H и обозначают g /H. Можно указать естественный гомоморфизм f группы g в фактор-группу g /H, который вводится согласно правилу: (Aх ∈ G)(f(x) = хН). Так как хН ⋅ уН = хуН, то для любых x,y ∈ G f(xy) = xyH = хН⋅ уН = f(x)f(y) и f - действительно гомоморфизм. Его называют каноническим гомоморфизмом группы g в фактор-группу g /H.
Пример 2.24. а. Рассмотрим аддитивную группу ℝ = = (ℝ, +, 0) действительных чисел. Эта группа коммутативна. Напомним, что в коммутативной группе любая подгруппа будет нормальным делителем. Поэтому для нее нормальным делителем является подгруппа целых чисел ℤ = (ℤ, +, 0) (аддитивная группа целых чисел). (Для этих групп мы приняли такие же обозначения, как и для их носителей: ℝ и ℤ соответственно.)
Выясним смысл отношения экивалентности ~ ℤ определяемого через равенство левых смежных классов*, по подгруппе ℤ в этом случае.
Равенство левых смежных классов а + ℤ = b + ℤ означает, что для любого целого m найдется такое целое n, что а + m = b + n, т.е. a-b = n-m ∈ ℤ. Обратно, если разность а - b есть целое число, т.е. a -b = n ∈ Z, то a + Z = (b + n) + ℤ = b + ℤ. Итак, a~ ℤ b тогда и только тогда, когда а - b ∈ ℤ, или, иначе говоря, действительные числа а и b ~ ℤ - эквивалентны тогда и только тогда, когда их дробные части равны.
*Мы можем говорить в данном случае просто о смежных классах, не различая левых и правых, так как для нормального делителя эти классы равны, тем более что мы „работаем" сейчас в коммутативной группе.
Аддитивная группа смежных классов, т.е. фактор-группа ℝ/ℤ группы ℝ по нормальному делителю ℤ строится так: сумма классов а + ℤ и b + ℤ равна классу (а + b) + ℤ. Вводя обозначение а + ℤ = [а], получаем [а] + [b] = [а + b]. При этом = ℤ (т.е. единица фактор-группы - это смежный класс нуля - множество всех целых чисел), причем -[а] = [-а] = (-а) + ℤ. Обратим внимание на то, что смежный класс числа х однозначно определяется его дробной частью (см. пример 1.14.6), т.е. [х] = . Канонический гомоморфизм в данном случае задается так: х ↣ [х].
б. Рассмотрим теперь аддитивную группу действительных чисел по модулю 1 , т.е. группу S 1 = (: а ∈ ℝ} смежных классов в полуинтервал ) = . Поскольку [х] = - биекция и, кроме того,
φ([х] + [y]) = φ([х+y]) = = + > = ⊕ 1 = φ ([х]) ⊕ 1 φ ([y]).
Это значит, что φ - изоморфизм ℝ/ℤ на S 1 .
Группу S 1 можно воспринимать как „наглядный образ" фактор-группы ℝ/ℤ. Довольно абстрактная идея фактор-группы кристаллизуется в виде группы с носителем }
